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EL UNIVERSO DE LAS ONDAS

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Para otros usos de este término, véase Onda (desambiguación).

Ondas propagadas en agua.

Onda estacionaria formada por la interferencia entre una onda (azul) que avanza hacia la derecha y una onda (roja) que avanza hacia la izquierda.
En física, una onda es una propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, que se propaga a través del espacio transportando energía. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal o el vacío.
La propiedad del medio en la que se observa la particularidad se expresa como una función tanto de la posición como del tiempo . Matemáticamente se dice que dicha función es una onda si verifica la ecuación de ondas:

donde v es la velocidad de propagación de la onda. Por ejemplo, ciertas perturbaciones de la presión de un medio, llamadas sonido, verifican la ecuación anterior, aunque algunas ecuaciones no lineales también tienen soluciones ondulatorias, por ejemplo, un solitón.
Contenido[ocultar]
1 Definiciones
2 Elementos de una Onda
3 Características
3.1 Polarización
3.2 Ejemplos
4 Descripción matemática
4.1 Ecuación de onda
4.2 Ondas Viajeras
4.3 Onda estacionaria
4.4 Propagación en cuerdas
5 Clasificación de las ondas
5.1 En función del medio en el que se propagan
5.2 En función de su propagación o frente de onda
5.3 En función de la dirección de la perturbación
5.4 En función de su periodicidad
5.5 Reflexión
5.6 Refracción
6 Véase también
7 Referencias
8 Enlaces externos
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Definiciones [editar]
Una vibración puede ser definida como un movimiento de ida y vuelta alrededor de un punto de referencia. Sin embargo, definir las características necesarias y suficientes que caracterizan un fenómeno como onda es, como mínimo, algo flexible. El término suele ser entendido intuitivamente como el transporte de perturbaciones en el espacio, donde no se considera el espacio como un todo sino como un medio en el que pueden producirse y propagarse dichas perturbaciones a través de él. En una onda, la energía de una vibración se va alejando de la fuente en forma de una perturbación que se propaga en el medio circundante (Hall, 1980: 8). Sin embargo, esta noción es problemática en casos como una onda estacionaria (por ejemplo, una onda en una cuerda bajo ciertas condiciones) donde la transferencia de energía se propaga en ambas direcciones por igual, o para ondas electromagnéticas/luminosas en el vacío, donde el concepto de medio no puede ser aplicado.
Por tales razones, la teoría de ondas se conforma como una característica rama de la física que se ocupa de las propiedades de los fenómenos ondulatorios independientemente de cual sea su origen físico (Ostrovsky y Potapov, 1999). Una peculiaridad de estos fenómenos ondulatorios es que a pesar de que el estudio de sus características no depende del tipo de onda en cuestión, los distintos orígenes físicos que provocan su aparición les confieren propiedades muy particuales que las distinguen de unos fenómenos a otros. Por ejemplo, la acústica se diferencia de la óptica en que las ondas sonoras están relacionadas con aspectos más mecánicos que las ondas electromagnéticas (que son las que gobiernan los fenómenos ópticos). Conceptos tales como masa, cantidad de movimiento, inercia o elasticidad son conceptos importantes para describir procesos de ondas sonoras, a diferencia de en las ópticas, donde estas no tienen una especial relevancia. Por lo tanto, las diferencias en el origen o naturaleza de las ondas producen ciertas propiedades que caracterizan cada onda, manifestando distintos efectos en el medio en que se propagan (por ejemplo, en el caso del aire: vórtices, presión de radiación, ondas de choque, etc. En el caso de los sólidos: Dispersión, etc. hoola Otras propiedades, sin embargo, pueden ser generalizadas a todas las ondas. Por ejemplo, teniendo en cuenta el origen mecánico de las ondas sonoras, estas pueden propagarse en el espacio-tiempo si y solo si el medio no es infinitamente rígido ni infinitamente flexible. Si todas las partes que constituyen un medio estuvieran rígidamente ligadas podrían vibrar como un todo sin retraso en la transmisión de la vibración y, por lo tanto, sin movimiento ondulatorio (o un movimiento de onda infinitamente rápido). Por otro lado, si todas las partes fueran independientes, no podría haber ninguna transmisión de la vibración y de nuevo, no habría movimiento ondulatorio (o sería infinitamente lento). Aunque lo dicho anteriormente no tiene sentido para ondas que no requieren de un medio, sí muestra una característica relevante a todas las ondas independientemente de su origen: para una misma onda, la fase de una vibración (que es el estado de perturbación en que se encuentra una determinada parte del medio) es diferente para puntos adyacentes en el espacio, ya que la vibración llega a estos en tiempos distintos.
De la misma forma, el estudio de procesos ondulatorios de distinta índole pueden permitir la comprensión de los fenómenos propiamente acústicos. Un ejemplo característico es el principio de interferencia de Young (Young, 1802, en Hunt, 1978: 132); la primera vez que apareció este principio fue en los estudios de Young sobre la luz y, dentro de algunos contextos específicos (por ejemplo, la dispersión de sonido a través del sonido), es todavía un aspecto investigado en el estudio de la acústica.
Elementos de una Onda [editar]
Cresta: La cresta es el punto más alto de dicha amplitud o punto máximo de saturación de la onda.
Período: El periodo es el tiempo que tarda la onda de ir de un punto de máxima amplitud al siguiente.
Amplitud: La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Nótese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable, es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo.
Frecuencia: Número de veces que es repetida dicha vibración en otras palabras es una simple repetición de valores por un período determinado.
Valle: Es el punto más bajo de una onda.
Longitud de onda: Distancia que hay entre dos crestas consecutivas.
Características [editar]

A = En aguas profundas.B = En aguas superficiales. El movimiento elíptico de una partícula superficial se vuelve suave con la baja intensidad.1 = Progresión de la onda2 = Monte3 = Valle
Las ondas periódicas están caracterizadas por crestas/montes y valles, y usualmente es categorizada como longitudinal o transversal. Una onda transversal son aquellas con las vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación de la onda; ejemplos incluyen ondas en una cuerda y ondas electromagnéticas. Ondas longitudinales son aquellas con vibraciones paralelas en la dirección de la propagación de las ondas; ejemplos incluyen ondas sonoras.
Cuando un objeto corte hacia arriba y abajo en una onda en un estanque, experimenta una trayectoria orbital porque las ondas no son simples ondas transversales sinusoidales.
Ondas en la superficie de una cuba son realmente una combinación de ondas transversales y longitudinales; por lo tanto, los puntos en la superficie siguen caminos orbitales.
Todas las ondas tiene un comportamiento común bajo un número de situaciones estándar. Todas las ondas pueden experimentar las siguientes:
Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo.
Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas.
Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio.
Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección.
Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad.
Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.
Polarización [editar]
Artículo principal: Polarización electromagnética
Una onda es polarizada, si solo puede oscilar en una dirección. La polarización de una onda transversal describe la dirección de la oscilación, en el plano perpendicular a la dirección del viaje. Ondas longitudinales tales como ondas sonoras no exhiben polarización, porque para estas ondas la dirección de oscilación es a lo largo de la dirección de viaje. Una onda puede ser polarizada usando un filtro polarizador.

Una ola rompiendo contra las rocas
Ejemplos [editar]
Ejemplos de ondas:
Olas, que son perturbaciones que se propagan por el agua.
Ondas de radio, microondas, ondas infrarrojas, luz visible, luz ultravioleta, rayos X, y rayos gamma conforman la radiación electromagnética. En este caso, la propagación es posible sin un medio, a través del vacío. Estas ondas electromagnéticas viajan a 299,792,458 m/s en el vacío.
Sonoras — una onda mecánica que se propaga por el aire, los líquidos o los sólidos.
Ondas de tráfico (esto es, la propagación de diferentes densidades de vehículos, etc.) — estas pueden modelarse como ondas cinemáticas como hizo Sir M. J. Lighthill
Ondas sísmicas en terremotos.
Ondas gravitacionales, que son fluctuaciones en la curvatura del espacio-tiempo predichas por la relatividad general. Estas ondas aún no han sido observadas empíricamente.
Descripción matemática [editar]

Onda con amplitud constante.

Ilustración de una onda (en azul) y su envolvente (en rojo).
Desde un punto de vista matemático, la onda más sencilla o fundamental es el armónico (sinusoidal) la cual es descrita por la ecuación f(x,t) = Asin(ωt − kx)), donde A es la amplitud de una onda - una medida de máximo vacío en el medio durante un ciclo de onda (la distancia máxima desde el punto más alto del monte al equilibrio). En la ilustración de la derecha, esta es la distancia máxima vertical entre la base y la onda. Las unidades de amplitud dependen del tipo de onda — las ondas en una cuerda tienen una amplitud expresada como una distancia (metros), las ondas sonoras como presión (pascales) y ondas electromagnéticas como la amplitud del campo eléctrico (voltios/metros). La amplitud puede ser constante, o puede variar con el tiempo y/o posición. La forma de la variación de amplitud es llamada la envolvente de la onda.
La longitud de onda (simbolizada por λ) es la distancia entre dos montes o valles seguidos. Suele medirse en metros, aunque en óptica es más común usar los nanómetros o los Angstroms (Å).
Un número de onda angular k puede ser asociado con la longitud de onda por la relación:

Las ondas pueden ser representadas por un movimiento armónico simple.
El periodo T es el tiempo para un ciclo completo de oscilación de la onda. La frecuencia f es cuantos periodos por unidad de tiempo (por ejemplo un segundo) y es medida en hertz. Esto es relacionado por:

En otras palabras, la frecuencia y el periodo de una onda son recíprocas entre sí.
La frecuencia angular ω representa la frecuencia en radianes por segundo. Está relacionada con la frecuencia por
Hay dos velocidades diferentes asociadas a las ondas. La primera es la velocidad de fase, la cual indica la tasa con la que la onda se propaga, y esta dada por:
La segunda es la velocidad de grupo, la cual da la velocidad con la que las variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio. Esta es la tasa a la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:

Ecuación de onda [editar]
Artículo principal: Ecuación de onda
La ecuación de onda es un tipo de ecuación diferencial que describe la evolución de una onda armónica simple a lo largo del tiempo. Esta ecuación presenta ligeras variantes dependiendo de como se transmite la onda, y del medio a través del cual se propaga. Si consideramos una onda unidimensional que se transmite a lo largo de una cuerda en el eje x, a una velocidad v y con una amplitud u (que generalmente depende tanto de x y de t), la ecuación de onda es:

Trasladado a tres dimensiones, sería

donde es el operador laplaciano.
La velocidad v depende del tipo de onda y del medio a través del cual viaja.
Jean Le Rond d'Alembert obtuvo una solución general para la ecuación de onda en una dimensión:

Esta solución puede interpretarse como dos impulsos viajando a lo largo del eje x en direcciones opuestas: F en el sentido +x y G en el -x. Si generalizamos la variable x, reemplazándola por tres variables x, y, z, entonces podemos describir la propagación de una onda en tres dimensiones.
La ecuación de Schrödinger describe el comportamiento ondulatorio de las partículas elementales. Las soluciones de esta ecuación son funciones de ondas que pueden emplearse para hallar la densidad de probabilidad de una partícula.
Ondas Viajeras [editar]
Una onda simple u onda viajera es una perturbación que varía tanto con el tiempo t como con la distancia z de la siguiente manera:

donde A(z,t) es la amplitud de la onda, k es el número de onda y φ es la fase. La velocidad de fase vf de esta onda está dada por

donde λ es la longitud de onda.
Onda estacionaria [editar]
Artículo principal: Onda estacionaria

Onda estacionaria en un medio estático. Los puntos rojos representan los nodos de la onda.
Una onda estacionaria es aquella que permanece fija, sin propagarse a través del medio. Este fenómeno puede darse, bien cuando el medio se mueve en sentido opuesto al de propagación de la onda, o bien puede aparecer en un medio estático como resultado de la interferencia entre dos ondas que viajan en sentidos opuestos.
La suma de dos ondas que se propagan en sentidos opuestos, con idéntica amplitud y frecuencia, dan lugar a una onda estacionaria. Las ondas estacionarias normalmente aparecen cuando una frontera bloquea la propagación de una onda viajera (como los extremos de una cuerda, o el bordillo de una piscina, más allá de los cuales la onda no puede propagarse). Esto provoca que la onda sea reflejada en sentido opuesto e interfiera con la onda inicial, dando lugar a una onda estacionaria. Por ejemplo, cuando se rasga la cuerda de un violín, se generan ondas transversales que se propagan en direcciones opuestas por toda la cuerda hasta llegar a los extremos. Una vez aquí son reflejadas de vuelta hasta que interfieren la una con la otra dando lugar a una onda estacionaria, que es lo que produce su sonido característico.
Las ondas estacionarias se caracterizan por presentar regiones donde la amplitud es nula (nodos), y regiones donde es máxima (vientres). La distancia entre dos nodos o vientres consecutivos es justamente λ / 2, donde λ es la longitud de onda de la onda estacionaria.
Al contrario que en las ondas viajeras, en las ondas estacionarias no se produce propagación neta de energía.
Ver también: Resonancia acústica, resonador de Helmholtz, y tubo de órgano
Propagación en cuerdas [editar]
La velocidad de una onda viajando a través de una cuerda en vibración (v) es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda (T) por su densidad lineal (μ):
Clasificación de las ondas [editar]
Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos:
En función del medio en el que se propagan [editar]

Tipos de ondas y algunos ejemplos.
Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.
Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una velocidad de 300000 km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas.
Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.
En función de su propagación o frente de onda [editar]

Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.
Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.
Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.
En función de la dirección de la perturbación [editar]
Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio se mueven (ó vibran) paralelamente a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.
Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
En función de su periodicidad [editar]
Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.
Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas también se denominan pulsos.
Reflexión [editar]
Artículo principal: Reflexión
Se produce cuando una onda encuentra en su recorrido una superficie contra la cual rebota, después de la reflexión la onda sigue propagándose en el mismo medio y los parámetros permanecen inalterados. El eco es un ejemplo de Reflexión.
Refracción [editar]
Artículo principal: Refracción
Es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio material a otro. Sólo se produce si la onda incide oblicuamente sobre la superficie de separación de los dos medios y si éstos tienen índices de refracción distintos. La refracción se origina en el cambio de velocidad que experimenta la onda. El índice de refracción es precisamente la relación entre la velocidad de la onda en un medio de referencia (el vacío para las ondas electromagnéticas) y su velocidad en el medio de que se trate.
Véase también [editar]
Ecuación de onda
Efecto Doppler
Electromagnetismo
Explosión sónica
Fotón
Dualidad onda corpúsculo
Longitud de onda
Movimiento ondulatorio y / o mecánica ondulatoria
Ola
Onda de choque
Ondas no lineales
Solitón
Onda estacionaria
Onda periódica
Ondas sonoras
Sonido
Referencias [editar]
Campbell, M. and Greated, C. (1987). The Musician’s Guide to Acoustics. New York: Schirmer Books.
French, A.P. (1971). Vibrations and Waves (M.I.T. Introductory physics series). Nelson Thornes. ISBN 0-393-09936-9.
Hall, D. E. (1980). Musical Acoustics: An Introduction. Belmont, California: Wadsworth Publishing Company.
Hunt, F. V. (1978). Origins in Acoustics. New York: Acoustical Society of America Press, (1992).
Ostrovsky, L. A. and Potapov, A. S. (1999). Modulated Waves, Theory and Applications. Baltimore: The Johns Hopkins University Press.
Vassilakis, P.N. (2001). Perceptual and Physical Properties of Amplitude Fluctuation and their Musical Significance. Doctoral Dissertation. University of California, Los Angeles.
Enlaces externos [editar]
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Onda (física).Commons

TESELACIONES

Un teselado se refiere a una partición del plano mediante polígonos idénticos, o a un polígono o grupo de polígonos idénticos que convenientemente agrupados recubren enteramente el plano.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
Un teselado visto en el pavimento de una Calle
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
Teselado Hexagonal de un Piso
Un teselado también es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:
que no queden huecos
que no se superpongan las figuras
Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.
Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
Es un error común referise al teselado como "teselación" lo cual es una traducción equivocada de la palabra en Inglés "tesellation". El único término correcto en Español es "teselado".
Contenido
1 Antecedentes históricos
2 Conceptos previos
3 Teselados regulares
4 Teselados semi-regulares.
5 Teselados no regulares
5.1 Cuadriláteros
5.2 Triángulos
5.3 Hexágonos
5.4 Teselación de El Cairo
5.5 Polígonos Cóncavos
6 Construcción de teselados
6.1 Método quita y pon
6.2 Teselados e isometría
7 Véase también
8 Enlaces externos

Antecedentes históricos
Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
Arquímedes en el siglo III a. de C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.
Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.
Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de los llamados teselados.
Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó un sin número de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

ángulos que concurren a un vértice
Conceptos previos
En un teselado plano la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.
Un polígono es cóncavo si no es convexo
Teselados regulares
Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.
Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.

Triángulos equilateros

Cuadrados

Hexágonos
Teselados semi-regulares. [editar]
Son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teselado semi-regular tiene las siguientes propiedades:
Esta formada sólo por polígonos regulares.
El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
Existen sólo 8 teselados semi-regulares

Teselados no regulares
Son aquellos formados por polígonos no regulares
Cuadriláteros [editar]
Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.
Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible

Triángulos
Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.

Hexágonos
Teselación de El Cairo

Teselación de El Cairo
Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre.
El pentágono posee sus 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131,5° y dos ángulos de 114,25°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.
Polígonos Cóncavos Flecha derecha

Cruz griega

Angulo himterk

Chevron ayaoku-landt
Construcción de teselados Método quita y pon
Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen n veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utlizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con este método.
Teselados e isometría [editar]
A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.
Véase también
Maurits Cornelis Escher
Polígonos de Thiessen
Teselado de El Cairo
Teselado de Penrose
Transformaciones isométricas

LAS TORRES DE HANOI

Torres de Hanói De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Torres de Hanói Animación de movimientos en la Torre de Hanói con tres piezas Las Torres de Hanói es un rompecabezas o juego matemático inventado en 1883 por el matemático francés Éduard Lucas.[1] Este solitario se trata de un juego de ocho discos de radio creciente que se apilan insertándose en una de las tres estacas de un tablero. El objetivo del juego es crear la pila en otra de las estacas siguiendo unas ciertas reglas. El problema es muy conocido en la ciencia de la computación y aparece en muchos libros de texto como introducción a la teoría de algoritmos. Contenido 1 Descripción 2 Leyenda 3 Resolución 4 Solución simple 4.1 Mediante recursividad 4.2 Iterativa 4.3 Curiosidades 5 Referencias 6 Véase también 7 Enlaces externos Descripción El juego, en su forma más tradicional, consiste en tres varillas verticales. En una de las varillas se apila un número indeterminado de discos (elaborados de madera) que determinará la complejidad de la solución, por regla general se consideran ocho discos. Los discos se apilan sobre una varilla en tamaño decreciente. No hay dos discos iguales, y todos ellos están apilados de mayor a menor radio en una de las varillas, quedando las otras dos varillas vacantes. El juego consiste en pasar todos los discos de la varilla ocupada (es decir la que posee la torre) a una de las otras varillas vacantes. Para realizar este objetivo, es necesario seguir tres simples reglas: Sólo se puede mover un disco cada vez. Un disco de mayor tamaño no puede descansar sobre uno más pequeño que él mismo. Sólo puedes desplazar el disco que se encuentre arriba en cada varilla. Existen diversas formas de realizar la solución final, todas ellas siguiendo estrategias diversas. Leyenda Se cuenta que un templo de Benarés (Uttar Pradesh, India), se encontraba una cúpula que señalaba el centro del mundo. Allí estaba una bandeja sobre la cual existían tres agujas de diamante. En una mañana lluviosa, un rey mandó a poner 64 discos de oro, siendo ordenados por tamaño: el mayor en la base de la bandeja y el menor arriba de todos los discos.Tras la colocación, los sacerdotes del templo intentaron mover los discos entre las agujas, según las leyes que se les habían entregado: "El sacerdote de turno no debe mover más de un disco a la vez, y no puede situar un disco de mayor diámetro encima de otro de menor diámetro". Hoy no existe tal templo, pero el juego aún perduró en el tiempo... Otra leyenda cuenta que Dios al crear el mundo, colocó tres varillas de diamante con 64 discos en la primera. También creó un monasterio con monjes, los cuales tienen la tarea de resolver esta Torre de Hanói divina. El día que estos monjes consigan terminar el juego, el mundo acabará. No obstante, esta leyenda resultó ser un invento publicitario del creador del juego, el matemático Éduard Lucas. En aquella época, era muy común encontrar matemáticos ganándose la vida de forma itinerante con juegos de su invención, de la misma forma que los juglares hacían con su música. No obstante, la falacia resultó ser tan efectista y tan bonita, que ha perdurado hasta nuestros días. Además, invita a realizarse la pregunta: "si la leyenda fuera cierta, ¿cuándo será el fin del mundo?". El mínimo número de movimientos que se necesita para resolver este problema es de 264-1. Si los monjes hicieran un movimiento por segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en algo menos de 585 mil millones de años. Como comparación para ver la magnitud de esta cifra, la Tierra tiene como 5 mil millones de años, y el Universo entre 15 y 20 mil millones de años de antigüedad, sólo una pequeña fracción de esa cifra.

TRABAJO DE FRACCIONES CON TORTAS FRACCCIONARIAS

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función ...
11 KB (1.658 palabras) - 16:56 8 mar 2010
Movimiento armónico complejo
Un movimiento armónico complejo es un ... movimientos armónicos simples. Aunque un movimiento armónico simple es siempre periódico, un ...
8 KB (1.211 palabras) - 14:36 16 ene 2010
Cinemática (sección Movimiento armónico simple)
La cinemática (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica ... Movimiento armónico simple: Movimiento armónico simple ...
28 KB (4.049 palabras) - 20:10 13 mar 2010
Oscilador armónico (redirige desde Movimiento armónico amortiguado)
es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su ... pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. ...
31 KB (4.512 palabras) - 01:42 9 dic 2009
Péndulo (sección Ecuación del movimiento)
péndulo simple , péndulo compuesto , péndulo cicloidal , doble ... Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico , lo cual significa que ...
11 KB (1.566 palabras) - 02:10 10 mar 2010
Péndulo simple (sección Ecuación del movimiento)
El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una ... no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) ...
11 KB (1.592 palabras) - 23:38 22 feb 2010

EL CUARTO ELEMENTO

http://www.elespectador.com/opinion/columnistasdelimpreso/william-ospina/columna-los-sentidos-del-cuarto-elemento

OPERACIONES CON FRACCIONES

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

Historia de la matemática
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Página del Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (820 d.C.)La Historia de la Matemática es un área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas y, en menor grado, de los métodos matemáticos y la notación.[cita requerida]

Antes de la edad moderna y la dispersión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz sólo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son el Plimpton 322 (matemáticas en Babilonia c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (matemáticas en el Antiguo Egipto c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (Matemáticas en Egipto c. 1650 a. C.), y el Shulba Sutras (Matemáticas en la India c. 800 a. C.). Todos estos textos tratan sobre el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.[cita requerida]

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.[1] Las matemáticas en el Islam, a su vez, desarrollaron y extendieron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.

Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistema de numeración unario
Diferentes representaciones del número 8 en unario.
El sistema de numeración unario es un sistema de numeración biyectivo de base 1. Es el sistema de numeración mas simple que existe para representar los números naturales. Para representar un número N, se elige un símbolo arbitrario, que será la única cifra que tenga dicho sistema de numeración, y se repetirá N veces. Por ejemplo, si tomamos el símbolo como cifra única, el número 6 se representará como . El sistema tradicional de contar con los dedos es un ejemplo de numeración unaria. El sistema unario es útil en procesos de conteo, como el marcador de un deporte, o contar el número de personas que entran en un lugar, o el número de votos que van saliendo en una elección, ya que no requiere ir enmendando los resultados previos, simplemente hay que seguir añadiendo símbolos para su posterior recuento.
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Ejemplos de este sistema
Ejemplos de este sistema Las marcas se suelen agrupar frecuentemente en grupos de cinco para que sea más legible y sencillo el recuento posterior. Cuando el símbolo utilizado es una raya (el más frecuente) es común atravesar la quinta línea sobre las cuatro previas para formar grupos. En los sistemas de numeración chino, japonés y coreano se agrupan los símbolos se van añadiendo hasta que el quinto cierra el grupo y forma un símbolo que significa cinco.
Otro método utilizado en Brasil y también en Francia es ir dibujando las líneas formando los lados de un cuadrado. Uno se representa con una línea vertical, el dos formaría con ésta una L, el tres formaría una U junto a ellos, el cuatro cerraría el cuadrado y el cinco se añadiría en una de las diagonales del mismo.
Existen multitud de sistemas de numeración antiguos que, sin ser unarios, provienen claramente de sistemas de este tipo:
Los tres primeros números del sistema de numeración romano (hasta el cuatro en los relojes) se basan en el sistema de numeración unario.
El sistema de numeración egipcio utiliza el sistema unario para números del uno al diez, después utiliza un número para el diez, que repite como si fuera un sistema unario para los números del diez al noventa. Así sucesivamente, tiene símbolos para 1, 10, 100, 1000, 10.000, 100.000 y hasta 1.000.000 que repite y conjunta para formar números.
La numeración babilónica utiliza la agrupación de una cifra que representa al uno para todos los números de uno al diez. Tiene otro símbolo que representa al diez que repite y agrupa para formar las decenas hasta el 50, ya que es un sistema sexagesimal
Así, en todos estos sistemas de numeración posicionales se comenzó con sistemas basados en el unario para, posteriormente, ir haciendo cifras para números mayores (frecuentemente las potencias de diez) con objeto de simplificar la lectura de los número.
Para ver un ejemplo real de numeración unaria por civilizaciones véase el Papiro matemático de Moscú, datado del año 1880 a.C.