Un teselado se refiere a una partición del plano mediante polígonos idénticos, o a un polígono o grupo de polígonos idénticos que convenientemente agrupados recubren enteramente el plano.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
Un teselado visto en el pavimento de una Calle
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
Teselado Hexagonal de un Piso
Un teselado también es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:
que no queden huecos
que no se superpongan las figuras
Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.
Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
Es un error común referise al teselado como "teselación" lo cual es una traducción equivocada de la palabra en Inglés "tesellation". El único término correcto en Español es "teselado".
Contenido
1 Antecedentes históricos
2 Conceptos previos
3 Teselados regulares
4 Teselados semi-regulares.
5 Teselados no regulares
5.1 Cuadriláteros
5.2 Triángulos
5.3 Hexágonos
5.4 Teselación de El Cairo
5.5 Polígonos Cóncavos
6 Construcción de teselados
6.1 Método quita y pon
6.2 Teselados e isometría
7 Véase también
8 Enlaces externos
Antecedentes históricos
Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
Arquímedes en el siglo III a. de C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.
Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.
Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de los llamados teselados.
Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó un sin número de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.
ángulos que concurren a un vértice
Conceptos previos
En un teselado plano la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.
Un polígono es cóncavo si no es convexo
Teselados regulares
Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.
Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.
Triángulos equilateros
Cuadrados
Hexágonos
Teselados semi-regulares. [editar]
Son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teselado semi-regular tiene las siguientes propiedades:
Esta formada sólo por polígonos regulares.
El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
Existen sólo 8 teselados semi-regulares
Teselados no regulares
Son aquellos formados por polígonos no regulares
Cuadriláteros [editar]
Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.
Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible
Triángulos
Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.
Hexágonos
Teselación de El Cairo
Teselación de El Cairo
Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre.
El pentágono posee sus 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131,5° y dos ángulos de 114,25°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.
Polígonos Cóncavos Flecha derecha
Cruz griega
Angulo himterk
Chevron ayaoku-landt
Construcción de teselados Método quita y pon
Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen n veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utlizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con este método.
Teselados e isometría [editar]
A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.
Véase también
Maurits Cornelis Escher
Polígonos de Thiessen
Teselado de El Cairo
Teselado de Penrose
Transformaciones isométricas
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
Un teselado visto en el pavimento de una Calle
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
Teselado Hexagonal de un Piso
Un teselado también es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:
que no queden huecos
que no se superpongan las figuras
Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.
Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
Es un error común referise al teselado como "teselación" lo cual es una traducción equivocada de la palabra en Inglés "tesellation". El único término correcto en Español es "teselado".
Contenido
1 Antecedentes históricos
2 Conceptos previos
3 Teselados regulares
4 Teselados semi-regulares.
5 Teselados no regulares
5.1 Cuadriláteros
5.2 Triángulos
5.3 Hexágonos
5.4 Teselación de El Cairo
5.5 Polígonos Cóncavos
6 Construcción de teselados
6.1 Método quita y pon
6.2 Teselados e isometría
7 Véase también
8 Enlaces externos
Antecedentes históricos
Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
Arquímedes en el siglo III a. de C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.
Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.
Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de los llamados teselados.
Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó un sin número de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.
ángulos que concurren a un vértice
Conceptos previos
En un teselado plano la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.
Un polígono es cóncavo si no es convexo
Teselados regulares
Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.
Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.
Triángulos equilateros
Cuadrados
Hexágonos
Teselados semi-regulares. [editar]
Son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teselado semi-regular tiene las siguientes propiedades:
Esta formada sólo por polígonos regulares.
El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
Existen sólo 8 teselados semi-regulares
Teselados no regulares
Son aquellos formados por polígonos no regulares
Cuadriláteros [editar]
Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.
Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible
Triángulos
Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.
Hexágonos
Teselación de El Cairo
Teselación de El Cairo
Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre.
El pentágono posee sus 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131,5° y dos ángulos de 114,25°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.
Polígonos Cóncavos Flecha derecha
Cruz griega
Angulo himterk
Chevron ayaoku-landt
Construcción de teselados Método quita y pon
Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen n veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utlizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con este método.
Teselados e isometría [editar]
A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.
Véase también
Maurits Cornelis Escher
Polígonos de Thiessen
Teselado de El Cairo
Teselado de Penrose
Transformaciones isométricas
